ΕΝΟΤΗΤΑ 3-ΑΝΑΛΟΓΑ ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

             ΑΝΑΛΟΓΑ ΚΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

Margarita Dakoronia από MARGARITA DAKORONIA

                                          ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

Για την επίλυση προβλημάτων που περιλαμβάνουν ανάλογα ποσά, υπάρχουν τρεις κύριες μαθηματικές μεθόδους: η αναγωγή στη μονάδα, ο σχηματισμός αναλογίας και η απλή μέθοδος των τριών.

Αναλυτικότερα:

1. Αναγωγή στη μονάδα: Είναι η διαδικασία κατά την οποία βρίσκουμε πρώτα την τιμή της μίας μονάδας ενός ποσού (χρησιμοποιώντας τη διαίρεση) και στη συνέχεια υπολογίζουμε την άγνωστη τιμή των πολλών μονάδων (χρησιμοποιώντας τον πολλαπλασιασμό). Για παράδειγμα, αν γνωρίζουμε το κόστος για 5 μέτρα υφάσματος, διαιρούμε για να βρούμε το κόστος του 1 μέτρου και μετά πολλαπλασιάζουμε για να βρούμε το κόστος των 12 μέτρων.
2. Σχηματισμός αναλογίας: Η μέθοδος αυτή βασίζεται στην ιδιότητα ότι στα ανάλογα ποσά, ο λόγος των τιμών τους παραμένει σταθερός. Για την εφαρμογή της:
• Κατασκευάζουμε έναν πίνακα ποσών και τιμών.
• Χρησιμοποιούμε μια μεταβλητή (συνήθως το x) για την άγνωστη τιμή.
• Σχηματίζουμε την αναλογία (ισότητα δύο λόγων) και τη λύνουμε χρησιμοποιώντας τα σταυρωτά γινόμενα (πολλαπλασιασμός χιαστί), όπου τα γινόμενα των όρων είναι ίσα.
3. Απλή μέθοδος των τριών: Χρησιμοποιείται όταν γνωρίζουμε τρεις τιμές και αναζητούμε την τέταρτη. Η διαδικασία περιλαμβάνει τρία βήματα:
• Κατάταξη: Τοποθετούμε τα ποσά του ίδιου είδους το ένα κάτω από το άλλο σε στήλες.
• Σύγκριση: Επιβεβαιώνουμε ότι τα ποσά είναι ανάλογα.
• Λύση: Βρίσκουμε τον άγνωστο x πολλαπλασιάζοντας τον αριθμό που βρίσκεται ακριβώς πάνω από αυτόν με το αντεστραμμένο κλάσμα των άλλων δύο τιμών της κατάταξης.

Στα ανάλογα ποσά, όταν η τιμή του ενός ποσού διπλασιάζεται, τριπλασιάζεται ή υποδιπλασιάζεται, η τιμή του άλλου ποσού μεταβάλλεται με τον ίδιο ακριβώς τρόπο, διατηρώντας τη σχέση τους σταθερή.

Στα αντιστρόφως ανάλογα ποσά, όταν η τιμή του ενός ποσού διπλασιάζεται, τριπλασιάζεται ή υποδιπλασιάζεται, η τιμή του άλλου ποσού μεταβάλλεται με τον αντίστροφο ακριβώς τρόπο, διατηρώντας τη σχέση τους σταθερή. Στα αντιστρόφως ανάλογα ποσά, όταν η τιμή του ενός ποσού πολλαπλασιάζεται με έναν αριθμό, η αντίστοιχη τιμή του άλλου ποσού διαιρείται με τον ίδιο αριθμό.

 

                  1^ος ΤΡΟΠΟΣ-ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΜΟΝΑΔΑ

Η μέθοδος της αναγωγής στη μονάδα ορίζεται ως η διαδικασία κατά την οποία, προκειμένου να λύσουμε ένα πρόβλημα με ποσά, βρίσκουμε πρώτα την τιμή της μίας μονάδας. Η εφαρμογή της διαφοροποιείται ανάλογα με το αν τα ποσά είναι ανάλογα ή αντιστρόφως ανάλογα:

• Στα ανάλογα ποσά: Η μέθοδος περιλαμβάνει δύο στάδια. Πρώτα, βρίσκουμε την τιμή της μίας μονάδας χρησιμοποιώντας τη διαίρεση και στη συνέχεια υπολογίζουμε την άγνωστη τιμή των πολλών μονάδων χρησιμοποιώντας τον πολλαπλασιασμό. Για παράδειγμα, αν γνωρίζουμε ότι 5 μέτρα υφάσματος κοστίζουν 30 €, διαιρούμε (30 : 5) για να βρούμε ότι το 1 μέτρο κοστίζει 6 € και μετά πολλαπλασιάζουμε (12 x 6) για να βρούμε ότι τα 12 μέτρα κοστίζουν 72 €.
• Στα αντιστρόφως ανάλογα ποσά: Η διαδικασία αντιστρέφεται για να βρούμε το συνολικό μέγεθος που αντιστοιχεί στη μονάδα. Αρχικά, βρίσκουμε την τιμή της μίας μονάδας με πολλαπλασιασμό και στη συνέχεια διαιρούμε με τον αριθμό των μονάδων που αναζητούμε για να βρούμε την άγνωστη τιμή. Για παράδειγμα, αν 3 εργάτες τελειώνουν ένα έργο σε 20 ημέρες, ο 1 εργάτης θα χρειαζόταν 20 x 3 = 60 ημέρες, ενώ οι 10 εργάτες θα το τελειώσουν σε 60 : 10 = 6 ημέρες.

        2^ος ΤΡΟΠΟΣ ΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑΣ

Η μέθοδος του σχηματισμού αναλογίας βασίζεται στην ιδιότητα ότι στα ανάλογα ποσά ο λόγος των τιμών τους παραμένει σταθερός. Η διαδικασία αυτή ακολουθεί συγκεκριμένα βήματα για την εύρεση μιας άγνωστης τιμής:

• Κατασκευή πίνακα: Αρχικά, οργανώνουμε τα δεδομένα μας σε έναν πίνακα ποσών και τιμών.
• Εισαγωγή μεταβλητής: Χρησιμοποιούμε μια μεταβλητή, συνήθως το x, για να συμβολίσουμε την άγνωστη τιμή που αναζητούμε.
• Έλεγχος σχέσης: Επιβεβαιώνουμε ότι τα ποσά είναι ανάλογα, δηλαδή ότι αν το ένα διπλασιαστεί, θα διπλασιαστεί και το άλλο.
• Σχηματισμός αναλογίας: Γράφουμε την ισότητα δύο λόγων (κλασμάτων) χρησιμοποιώντας τις αντίστοιχες τιμές των ποσών.
• Σταυρωτά γινόμενα: Εφαρμόζουμε τη μέθοδο του πολλαπλασιασμού χιαστί, καθώς σε κάθε αναλογία τα σταυρωτά γινόμενα των όρων είναι ίσα.
• Επίλυση εξίσωσης: Υπολογίζουμε τον άγνωστο x λύνοντας την εξίσωση που προέκυψε από τα γινόμενα.

Για παράδειγμα, αν 5 μέτρα υφάσματος κοστίζουν 30 € και ψάχνουμε το κόστος (z) για 12 μέτρα, σχηματίζουμε την αναλογία. Από τα σταυρωτά γινόμενα προκύπτει η εξίσωση 5 x z = 30 x12, άρα 5x z = 360, που μας δίνει τελικό αποτέλεσμα z = 72. Αυτή η μέθοδος μας επιτρέπει να διατηρούμε την ίδια σχέση συστατικών ή τιμών σε διαφορετικές κλίμακες.

        3^ος ΤΡΟΠΟΣ ΑΠΛΗ ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΩΝ ΤΡΙΩΝ

Η απλή μέθοδος των τριών είναι μια σύντομη διαδικασία επίλυσης προβλημάτων στην οποία γνωρίζουμε τρεις τιμές δύο ποσών και αναζητούμε την τέταρτη. Η μέθοδος αυτή ολοκληρώνεται σε τρία βασικά βήματα, με μια σημαντική διαφοροποίηση στο τελευταίο στάδιο ανάλογα με το είδος των ποσών:

1. Κατάταξη: Το πρώτο βήμα περιλαμβάνει την τακτοποίηση των δεδομένων σε στήλες, προσέχοντας ώστε τα ποσά του ίδιου είδους να τοποθετούνται το ένα κάτω από το άλλο. Στη θέση της άγνωστης τιμής χρησιμοποιούμε συνήθως τη μεταβλητή x.
2. Σύγκριση: Σε αυτό το στάδιο εξετάζουμε τη σχέση των ποσών για να διακρίνουμε αν είναι ανάλογα ή αντιστρόφως ανάλογα. Η διερεύνηση αυτή είναι απαραίτητη για να αποφασίσουμε πώς θα συνεχίσουμε τη λύση.
3. Λύση: Ο υπολογισμός του αγνώστου x γίνεται πολλαπλασιάζοντας τον αριθμό που βρίσκεται ακριβώς πάνω από αυτόν στην κατάταξη με το κλάσμα των άλλων δύο τιμών. Η διαφορά έγκειται στον τρόπο χρήσης του κλάσματος:
• Στα ανάλογα ποσά, πολλαπλασιάζουμε με το αντεστραμμένο κλάσμα των άλλων δύο τιμών.
• Στα αντιστρόφως ανάλογα ποσά, πολλαπλασιάζουμε με το κλάσμα των άλλων δύο τιμών όπως είναι, χωρίς να το αντιστρέψουμε.

Μετά την εύρεση της απάντησης είναι χρήσιμο να γίνεται ένας τελικός έλεγχος για να διαπιστωθεί αν το αποτέλεσμα είναι λογικό με βάση τη σχέση των ποσών. Για παράδειγμα, αν τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα και η μία τιμή αυξήθηκε, η άλλη θα πρέπει οπωσδήποτε να έχει μειωθεί.

Ναι, και οι τρεις μέθοδοι εφαρμόζονται και στα αντιστρόφως ανάλογα ποσά, αλλά η διαδικασία των υπολογισμών αλλάζει, καθώς η σχέση μεταξύ των ποσών είναι διαφορετική. Στα αντιστρόφως ανάλογα ποσά, όταν η τιμή του ενός ποσού πολλαπλασιάζεται με έναν αριθμό, η αντίστοιχη τιμή του άλλου ποσού διαιρείται με τον ίδιο αριθμό.

ΠΡΟΣΕΧΩ

Αναλυτικότερα, οι διαφορές στις μεθόδους είναι οι εξής:

1. Αναγωγή στη μονάδα: Σε αντίθεση με τα ανάλογα ποσά, εδώ η διαδικασία αντιστρέφεται. Αρχικά, βρίσκουμε την τιμή που αντιστοιχεί στη μία μονάδα χρησιμοποιώντας τον πολλαπλασιασμό και στη συνέχεια διαιρούμε με τον αριθμό των μονάδων που αναζητούμε για να βρούμε την άγνωστη τιμή. Για παράδειγμα, αν 3 εργάτες τελειώνουν ένα έργο σε 20 ημέρες, ο 1 εργάτης θα χρειαζόταν 20 x 3 = 60 ημέρες.
2. Πίνακας ποσών και τιμών (Ίσα γινόμενα): Ενώ στα ανάλογα ποσά έχουμε σταθερό λόγο (διαίρεση), στα αντιστρόφως ανάλογα ποσά τα γινόμενα των αντίστοιχων τιμών είναι ίσα μεταξύ τους. Έτσι, αντί για αναλογία (ισότητα λόγων), σχηματίζουμε μια εξίσωση ίσων γινομένων. Για παράδειγμα, αν 10 εργάτες (z) πρέπει να κάνουν ένα έργο που 3 εργάτες κάνουν σε 20 μέρες, η εξίσωση θα είναι 10 x z = 3 x 20.
3. Απλή μέθοδος των τριών: Η μέθοδος ακολουθεί τα ίδια βήματα (κατάταξη, σύγκριση, λύση), αλλά στο στάδιο της λύσης υπάρχει μια κρίσιμη διαφορά: ο άγνωστος x βρίσκεται πολλαπλασιάζοντας τον αριθμό που είναι πάνω από αυτόν με το κλάσμα των άλλων δύο τιμών όπως ακριβώς εμφανίζονται στην κατάταξη, χωρίς να το αντιστρέψουμε.

Σχέδιο από MARGARITA DAKORONIA